Teorema de Weierstrass, do máximo e do mínimo

Proposição

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é contínua, possui máximo e mínimo (i.e., o seu contradomínio tem máximo e mínimo).

Demonstração

Consideraremos somente a prova da existência do máximo. A prova da existência do mínimo pode fazer-se de modo semelhante ou por redução ao caso aqui tratado.

Como o contradomínio de $f$ é limitado (como decorre do enunciado do exercício 11 da Folha 9) e não vazio, então tem supremo, que vamos designar por $S$. Da caracterização dos supremos, anteriormente provada, para cada $n \in \mathbb N$ podemos escolher um $x_n \in [a,b]$ tal que

(1)

\begin{align} 0 \leq S - f(x_n) < \frac{1}{n} \end{align}

e portanto, pelo Teorema das sucessões enquadradas, tal que

(2)

\begin{align} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = S. \end{align}

Por outro lado, como $(x_n)_n \subset [a,b]$ é uma sucessão limitada, então sabemos (onde está esse resultado?) que admite uma subsucessão $(x_{\sigma(n)})_n$ convergente, digamos para $c$ — o qual terá (porquê?) que pertencer a $[a,b]$. E então da continuidade de $f$ sai que também

(3)

\begin{align} \lim_{n \to \infty} f(x_{\sigma(n)}) = f(c). \end{align}

Isto conjugado com (2) — e a unicidade do limite — garante que $S = f(c)$, logo $S$ é o máximo (do contradomínio) de $f$.

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