Unicidade do limite

Proposição

O limite de uma sucessão convergente é único.

Demonstração

Suponhamos que a sucessão, chamemos-lhe $(u_n)_{n \in \mathbb N}$, podia ter dois valores distintos como limite. Designemos o menor por $a$ e o maior por $b$ e consideremos o número positivo $\varepsilon := \frac{b-a}{2}$.

(Aparte: será melhor acompanhares os argumentos com uma figura, marcando $a$, $b$ e a meia distância $\varepsilon$ entre os dois na reta real, de modo a mais facilmente perceberes o motivo desta escolha para $\varepsilon$ e o resto da prova).

Usando este $\varepsilon$ na definição de limite de sucessão, poderíamos então afirmar que existiriam duas ordens, digamos $n_1$ e $n_2$, tais que

(1)

\begin{eqnarray} n \geq n_1 & \Longrightarrow \, & a - \varepsilon < u_n < a + \varepsilon,\\ n \geq n_2 & \Longrightarrow & b - \varepsilon < u_n < b + \varepsilon. \end{eqnarray}

Escolhendo a maior das ordens teríamos, a partir dela, em particular que

(2)

\begin{align} u_n < a + \varepsilon \quad \mbox{e} \quad b - \varepsilon < u_n. \end{align}

No entanto, é fácil ver que $a + \varepsilon = \frac{a+b}{2} = b - \varepsilon$, de modo que conjugando com (2) concluir-se-ia o absurdo $u_n < u_n$.

A nossa suposição inicial tem então que estar errada e portanto fica provado que só pode haver um limite para (cada) uma sucessão convergente.

Comentários: