Teorema de Cauchy

Proposição

Se $f, g$ são funções regulares em $[a,b]$ com $g'$ diferente de zero em $]a,b[$, então $g(b)-g(a) \not= 0$ e existe $c \in ]a,b[$ tal que

(1)

\begin{align} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. \end{align}

Demonstração

Obtém-se por aplicação do Teorema de Rolle a $F(x) := f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$, procedendo de modo análogo à demonstração do Teorema de Lagrange.

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