Caracterização dos supremos

Proposição

Um número real $a$ é o supremo de um conjunto $C$ de números reais se e só se

(i) $a$ é um majorante de $C$;

(ii) $\forall \varepsilon > 0, \exists c \in C : a-\varepsilon < c$.

Demonstração

Prova da implicação $\Rightarrow$: (i) sai imediatamente da definição; pelo seu lado, se existisse um $\varepsilon > 0$ tal que para todo o $c \in C$ se verificasse que $a - \varepsilon \geq c$, então, por definição, $a - \varepsilon$ seria um majorante de $C$ e portanto seria um majorante de $C$ mais pequeno que $a := \sup C$, o que contraria a definição de supremo; logo (ii) tem que ser válida.

Prova da implicação $\Leftarrow$: (i) é um dos requisitos para que $a$ seja considerado o supremo de $C$; o outro requisito é que seja o mais pequeno dos majorantes, ou seja, que nenhum número mais pequeno do que $a$ possa ser também um majorante; consideremos então um qualquer número $b < a$ e comecemos por observar que também se tem $b < a - \frac{a-b}{2}$ (já conferiste?); como $\frac{a-b}{2}$ é maior do que zero, serve perfeitamente como uma das possibilidades para o $\varepsilon$ de (ii), garantindo-nos então essa proposição que existe um $c \in C$ tal que $b < c$ (convencido?); mas então $b$ não pode ser um majorante de $C$, como queríamos mostrar (está terminada a prova?).

Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License