Irracionalidade de raiz de 2

Proposição

$\sqrt{2}$ é irracional.

Demonstração

Se fosse racional, poderíamos escrevê-lo como $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$, com $p, q \in \mathbb N$ escolhidos de tal modo que fossem primos entre si (i.e., tal que a fração não se pudesse simplificar mais). Então teríamos, sucessivamente, que

(1)

\begin{eqnarray} 2 & = & \frac{p^2}{q^2}, \\ 2 q^2 & = & p^2, \end{eqnarray}

logo $p^2$ seria um número par e o mesmo sucederia com $p$ (porquê?). Ou seja, poderíamos escrevê-lo na forma $p=2k$, para algum $k \in \mathbb N$, de onde sairia, sucessivamente (conjugando com a 2ª equação em (1)), que

(2)

\begin{eqnarray} 2 q^2 = 4 k^2, \\ q^2 = 2 k^2, \end{eqnarray}

logo também $q^2$ e $q$ seriam pares (porquê?). Em particular, $q = 2\ell$, para algum $\ell \in \mathbb N$. Mas então $p$ e $q$ teriam 2 como fator comum, e portanto não seriam primos entre si, o que contradiz a nossa suposição inicial. Como essa suposição se pode fazer para qualquer número racional, a única saída para a contradição obtida é concluir que $\sqrt{2}$ não pode ser um número racional.

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