Proposição
A associação de um símbolo $\pm c_0,c_1c_2c_3 \ldots$ a cada $x \in \mathbb R$, de acordo com a explicação dada no exercício 8 da Folha 4 (ver meta 4), é possível e é feita sem qualquer ambiguidade (por outras palavras, a aplicação $r$ aí considerada está bem definida).
Demonstração
Como a definição no caso $x<0$ se reduz ao caso $x \geq 0$, basta considerar este último:
Existe um $c_0 \in \mathbb N_0$ tal que $c_0 \leq x < c_0+1$ (desafio: provar rigorosamente esta afirmação, tirando partido do Axioma de Arquimedes). Além disso, pela definição dos números naturais, não pode haver mais do que um $c_0$ nessas condições.
Como $10(x-c_0) \geq 0$, repetimos o processo anterior para escolhermos agora o único $c_1 \in \mathbb N_0$ tal que
(1)Como, além disso, o maior valor que tal $c_1$ pode assumir é 9 (justifica!), acabámos de mostrar que a afirmação feita na alínea (ii) do exercício 8 da Folha 4 é verdadeira no caso $n=1$.
Supondo agora que a veracidade de tal afirmação já está garantida para $n=k \in \mathbb N$, vejamos que também terá que verificar-se para $n=k+1$:
Como $10^{k+1} (x - \sum_{j=0}^{k-1} c_j 10^{-j} - c_k10^{-k}) \geq 0$, repetimos o processo acima para escolhermos agora o único $c_{k+1} \in \mathbb N_0$ (na verdade, o único $c_{k+1} \in \{ 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ — justifica novamente!) tal que
(2)ou seja, tal que a dupla desigualdade do exercício 8 da Folha 4 se verifica no caso $n=k+1$.
Pelo princípio de indução matemática, fica garantida a existência de uma única dízima para cada $x \in \mathbb R_0^+$ obedecendo aos requisitos de construção indicados no exercício 8 da Folha 4.
(Aparte: esta demonstração é um exemplo de como nem sempre uma tradução direta de uma abordagem geométrica à resolução de um problema é a melhor maneira de prosseguir em termos analíticos; no caso presente, para perceberes o que se está a passar em termos geométricos durante a demonstração acima, lê as considerações feitas a este propósito na página 24 de MG).
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