Regra de Cauchy

Proposição

Sejam $f, g$ diferenciáveis num intervalo $I$, onde, para algum $\varepsilon > 0$, $I = ]a-\varepsilon, a[ \,$ (resp. $I = ]a,a+\varepsilon[$) com $a \in \mathbb R$.
Se $g(x), g'(x) \not= 0$ para $x \in I$, se $\lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \big)$ configura uma situação de indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ou $\frac{\pm \infty}{\mp \infty}$, e se existe $\lim_{x \to a-} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} \big)$, então também existe $\lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)}$ $\big($resp. $\lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \big)$ e
$\qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to a-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a-} \frac{f'(x)}{g'(x)}\;\;$ $\big($resp. $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)}\big)$.

Nota: Esta regra também é válida quando em vez de $x \to a-$ (resp. $x \to a+$) se considera $x \to \infty$ (resp. $x \to -\infty$), com as necessárias adaptações.

Demonstração

Ver Teorema 3.4.1 de AM1.

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