Exemplo de função primitivável mas não integrável

Proposição

A função dada por

(1)

\begin{align} f(x) := \left\{ \begin{array}{ll} 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} \cos \frac{1}{x^2} & \mbox{ se }\, x \not= 0 \\ 0 & \mbox{ se }\, x = 0 \end{array} \right. \end{align}

é primitivável em qualquer intervalo $[a,b]$ com $a < 0 < b$ mas não é integrável em nenhum desses intervalos.

Demonstração

A função é claramente ilimitada junto a zero (porquê?), logo não pode ser integrável em nenhum intervalo que contenha zero no seu interior (recordar — cf. a caracterização da integrabilidade — que qualquer função integrável à Riemann tem obrigatoriamente que ser limitada).

Para provarmos que $f$ é primitivável, basta exibirmos uma sua primitiva. Deixamos como exercício a prova de que a função definida por

(2)

\begin{align} F(x) := \left\{ \begin{array}{ll} x^2 \sin \frac{1}{x^2} & \mbox{ se }\, x \not= 0 \\ 0 & \mbox{ se }\, x = 0 \end{array} \right. \end{align}

é uma tal primitiva em qualquer um dos intervalos considerados.

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