Outro critério de integrabilidade

Proposição

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ (com $a < b$) é limitada e tem somente um número finito de descontinuidades, então é integrável e o valor do integral é independente dos valores da função nos pontos de descontinuidade.

Demonstração

A afirmação acerca do valor do integral segue imediatamente de um dos critérios de integrabilidade, uma vez garantida a integrabilidade de $f$.

Por seu lado, atendendo à aditividade do integral, a integrabilidade de $f$ fica garantida desde que se prove a sua integrabilidade em todos os subintervalos $[c,d]$ de $[a,b]$ onde a função seja descontínua em um ou em ambos os extremos e contínua no seu interior.

Definamos, atendendo à hipótese de limitação de $f$, o número real $A := \sup_{x \in [a,b]} f - \inf_{x \in [a,b]} f$. Claramente, $A > 0$, pois de outro modo a função não teria descontinuidades.

Seja $\varepsilon$ um qualquer número positivo e considerem-se $\alpha, \beta \in \;]c,d[$ tais que $\alpha < \beta \;$ e $\; \alpha - c, d - \beta < \frac{\varepsilon}{4A}$.

Atendendo a que $f|_{[\alpha,\beta]}$, sendo contínua, é integrável, consideremos, de acordo com a afirmação 4 da caracterização da integrabilidade, uma partição $P$ de $[\alpha,\beta]$ tal que

(1)

\begin{align} 0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \frac{\varepsilon}{2}. \end{align}

Observemos que, então, $P \cup \{ c,d \}$ é uma partição de $[c,d]$ e que

(2)

\begin{eqnarray} 0 \; \leq \; \overline{S}(f,P \cup \{ c,d \}) - \underline{S}(f,P \cup \{ c,d \}) & \leq & A (\alpha - c) + \frac{\varepsilon}{2} + A (d - \beta) \\ & < & \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{4} \\ & = & \varepsilon, \end{eqnarray}

de modo que se verifica para $f|_{[c,d]}$ a afirmação 4 da caracterização da integrabilidade, concluindo-se, por conseguinte, que $f$ é integrável em $[c,d]$.

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