Critério de invertibilidade de funções

Proposição

Se $f$ e $g$ forem duas funções reais de variável real tais que

(1)
\begin{align} \forall x,y \in \mathbb R, \quad \left\{ \begin{array}{l} y=f(x) \\ x \in D_f \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} x=g(y) \\ y \in D_g \end{array} \right. \end{align}

então $f$ é invertível e $f^{-1}=g\;$ (em particular, $D_g = f(D_f)$).

Demonstração

$f$ é injetiva: se $x_1, x_2 \in D_f$ verificam $f(x_1)=f(x_2)=:y$, então, por (1), $y \in D_g$ e $x_1 = g(y) = x_2$.

O contradomínio de $f$ é $D_g$: dado um qualquer $y \in D_g$, de (1) sai que $x:=g(y)$ é um elemento de $D_f$ tal que $f(x)=y$.

Portanto existe $f^{-1}$, com domínio igual a $D_g$. Como, conjugando a injetividade e a sobrejetividade acima provadas para $f$ sai que para cada $y \in D_g$ o número $x:=g(y)$ é o único número do domínio de $f$ tal que $f(x)=y$, então, por definição de aplicação inversa, $f^{-1}=g$.

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