Exemplo de função integrável mas não primitivável

Proposição

A função dada por

(1)

\begin{align} f(x) := \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se }\, x = 2 \\ 0 & \mbox{ se }\, x \not= 2 \end{array} \right. \end{align}

é integrável em qualquer intervalo $[a,b]$ com $a < 2 < b$ mas não é primitivável em nenhum desses intervalos.

Demonstração

É fácil provar a integrabilidade usando a definição, mas também podemos simplesmente invocar um dos critérios de integrabilidade e observar que, como a função constantemente igual a zero é integrável, e com integral igual a zero, em $[a,b]$, o mesmo terá que suceder à função $f$ dada, já que difere da função nula somente num ponto.

Para provarmos que $f$ não admite primitiva em nenhum dos intervalos $[a,b]$ considerados, argumentemos por contradição, começando por supor que existia uma primitiva $F$ de $f$ num desses intervalos.

Então, em particular, $F$ seria também uma primitiva de $f$ em $[a,2]$ e, como todas as primitivas, seria contínua nesse intervalo (justifica!). Ora, como em $]a,2[$ a derivada de $F$ (ou seja, $f$) vale 0, então $F$ teria que ser constante em $]a,2[$ e, pela continuidade, teria que ser mesmo constante em $[a,2]$. Mas daí resultaria que $F'_e(2) = 0 \not= 1 = f(2)$, produzindo-se a contradição.

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