Integração em subintervalos

Proposição

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é integrável, o mesmo sucede a $f|_{[c,d]}$, para qualquer $[c,d] \subset [a,b]$ com $c < d$, dizendo-se então que $f$ também é integrável em $[c,d]$.

Demonstração

Usamos a afirmação 4 da caracterização da integrabilidade:

A parte de $f$ ser limitada em $[c,d]$ segue imediatamente da limitação de $f$ em $[a,b]$.

Por outro lado, dado um qualquer $\varepsilon > 0$, seja $P$ uma partição de $[a,b]$ verificando

(1)

\begin{align} 0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon. \end{align}

Consideremos o refinamento $Q := P \cup \{ c,d \}$ de $P$ e a partição $Q_1 := Q \cap [c,d]$ de $[c,d]$. Tem-se então, conjugando com (1), que

(2)

\begin{align} 0 \leq \overline{S}(f,Q_1) - \underline{S}(f,Q_1) \leq \overline{S}(f,Q) - \underline{S}(f,Q) \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon, \end{align}

de onde segue a conclusão pretendida.

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