Módulo de função integrável

Proposição

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a<b$, é integrável, então também $|f|$ é integrável e

(1)
\begin{align} \left|\int_a^b f(x) \, dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx. \end{align}

Demonstração

Seja $\varepsilon$ um qualquer número positivo.

Sendo, por hipótese, $f$ integrável, então, de acordo com a afirmação 4 da caracterização da integrabilidade, $f$ é limitada (logo o mesmo sucede a $|f|$) e existe uma partição $P := \{ x_0, \ldots, x_n \}$ de $[a,b]$ tal que

(2)
\begin{align} 0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon. \end{align}

Ora, como dos exercícios 2, 3.(b) e 5.(a) da Folha 1 (ver meta 1) sai que

(3)
\begin{eqnarray} 0 \; \leq \; \overline{S}(|f|,P) - \underline{S}(|f|,P) & = & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} |f(x)| - \inf_{y \in [x_{i-1},x_i]} |f(y)| \big) (x_i - x_{i-1}) \\ & = & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} |f(x)| + \sup_{y \in [x_{i-1},x_i]} (-|f(y)|) \big) (x_i - x_{i-1}) \\ & = & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x,y \in [x_{i-1},x_i]} (|f(x)| - |f(y)|) \big) (x_i - x_{i-1}) \\ & \leq & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x,y \in [x_{i-1},x_i]} (|f(x) - f(y)|) \big) (x_i - x_{i-1}) \\ & = & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x,y \in [x_{i-1},x_i]} (f(x) - f(y)) \big) (x_i - x_{i-1}) \quad \mbox{(porquê?)} \\ & = & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x) + \sup_{y \in [x_{i-1},x_i]} (-f(y))\big) (x_i - x_{i-1}) \\ & = & \sum_{i=1}^n \big( \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x) - \inf_{y \in [x_{i-1},x_i]} f(y) \big) (x_i - x_{i-1})\\ & = & \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P), \end{eqnarray}

conjugando com (2) obtém-se a afirmação 4 da caracterização da integrabilidade para a função $|f|$ e, portanto, a integrabilidade desta função.

Por outro lado, do exercício 1 da meta 1 e da linearidade e monotonicidade do integral (cf. exercícios 9 e 11 da Folha 15 — ver meta 15) sai

(4)
\begin{align} - \int_a^b |f(x)| \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b |f(x)| \, dx \end{align}

e a desigualdade (1).

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