Proposição
Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$, $a$ um ponto de acumulação de $D$ e $b \in \mathbb R$. Então $\lim_{x \to a} f(x) = b$ no sentido de Heine se e só se $\lim_{x \to a} f(x) = b$ no sentido de Cauchy.
Demonstração
Diz-se que $\lim_{x \to a} f(x) = b$ segundo Heine (definição adotada no ensino secundário) se e só se
(1)Diz-se que $\lim_{x \to a} f(x) = b$ segundo Cauchy se e só se
(2)A implicação mais fácil de obter é que a definição de Cauchy garante a de Heine: de facto, assumindo (2), dada qualquer sucessão $(u_n)_n \subset D \setminus \{ a \}$ convergente para $a$, conseguimos, fixando arbitrariamente $\varepsilon > 0$, encontrar uma ordem $n_0$ a partir da qual se verifica $0 < |u_n - a| < \delta$ (para o $\delta$ escolhido em (2) em função daquele $\varepsilon$), e portanto a partir da qual também se verifica que $|f(u_n) - b| < \varepsilon$. Ou seja, também $(f(u_n))_n$ converge para $b$.
A prova da implicação contrária pode fazer-se argumentando por contradição:
Assumindo (1), suponhamos que (2) era falsa. Então existiria um $\varepsilon > 0$ tal que qualquer que fosse o $\delta > 0$ existiria um $x \in D$ tal que $0 < |x-a| < \delta$ mas $|f(x)-b| \geq \varepsilon$. Ou, totalmente em símbolos,
(3)Em particular, para todo o $\delta > 0$ da forma $\frac{1}{n}$, com $n \in \mathbb N$, existiria $x_n \in D$ tal que
(4)Teríamos então construído assim uma sucessão $(x_n)_n \subset D \setminus \{ a \}$ (porquê?) convergente para $a$ (porquê) mas em que a sucessão $(f(x_n))_n$ não convergiria para $b$ (porquê?), o que contraria a hipótese de que partimos. Em conclusão, perante a hipótese (1) a afirmação (2) tem que ser necessariamente verdadeira.
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