Fermat-Weierstrass

Proposição

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ contínua. Sejam $C$ o conjunto dos pontos críticos de $f$ em $]a,b[$ e $N$ o subconjunto de $]a,b[$ onde $f$ não é diferenciável. Seja $A := \{ a, b \} \cup C \cup N$. Então

  1. o máximo absoluto de $f$ é o máximo de $f(A)$ e os maximizantes absolutos de $f$ são todos os pontos de $A$ onde esse valor máximo ocorre.
  2. o mínimo absoluto de $f$ é o mínimo de $f(A)$ e os minimizantes absolutos de $f$ são todos os pontos de $A$ onde esse valor mínimo ocorre.

Demonstração

Que a função $f$ nas condições do enunciado tem máximo e mínimo vem do Teorema de Weierstrass.

Sendo um extremo absoluto também um extremo local, se ele ocorre num ponto de diferenciabilidade da função em $]a,b[$ então, pelo Teorema de Fermat, terá de ocorrer num ponto crítico de $f$. Caso não ocorra num ponto de diferenciabilidade de $f$ em $]a,b[$, as hipóteses que sobram é ocorrer em pontos deste intervalo onde a função não seja diferenciável ou nos extremos $a$ ou $b$ do intervalo que serve de domínio à função.

Qualquer que seja a situação, por definição de extremo absoluto terá sempre de ser o correspondente extremo da mesma natureza do conjunto $f(A)$, para o $A$ definido no enunciado, sendo então qualquer valor de $A$ onde ocorra um correspondente extremante.

Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License