Proposição
Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a < b$. As seguintes quatro afirmações são equivalentes, podendo qualquer uma delas ser tomada como definição de $f$ integrável (à Riemann):
1. Existe $I \in \mathbb R$ tal que $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall$ partição $P := \{ x_0, \ldots, x_n \}$ de $[a,b]$ com amplitude $\Delta (P) < \delta$, $\forall \xi := (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ compatível com $P$, $| S(f,P,\xi) - I | < \varepsilon\,$,
onde $S(f,P,\xi) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i) (x_i-x_{i-1})$ é a soma de Riemann de $f$ associada a $P$ e $\xi$.
2. Existe $I \in \mathbb R$ tal que $\forall \varepsilon > 0, \exists$ partição $P_\varepsilon$ de $[a,b] :$ $\forall$ partição $P := \{ x_0, \ldots, x_n \}$ de $[a,b]$ tal que $P \supset P_\varepsilon$, $\forall \xi := (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ compatível com $P$, $| S(f,P,\xi) - I | < \varepsilon\,$,
onde $S(f,P,\xi)$ tem o mesmo significado que no ponto anterior.
3. $f$ é limitada e $\underline{I}(f) = \overline{I}(f)$,
onde $\underline{I}(f)$ e $\overline{I}(f)$ são os integrais inferior e superior de Darboux, definidos respetivamente por $\underline{I}(f) := \sup_P \underline{S}(f,P)$ e $\overline{I}(f) := \inf_P \overline{S}(f,P)$, com o ínfimo e o supremo considerados sobre todas as partições $P$ de $[a,b]$, e $\underline{S}(f,P)$ e $\overline{S}(f,P)$ significando o mesmo que no ponto seguinte.
4. $f$ é limitada e $\forall \varepsilon > 0, \exists$ partição $P$ de $[a,b] : \; 0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) < \varepsilon$,
onde $\; \underline{S}(f,P) := \sum_{i=1}^n m_i (x_i-x_{i-1})\;$ e $\; \overline{S}(f,P) := \sum_{i=1}^n M_i (x_i-x_{i-1})\;$, com $\, m_i := \inf_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)\,$ e $\, M_i := \sup_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$, são as somas, respetivamente inferior e superior, de Darboux de $f$ associadas a $P$.
Além disso, no caso de se verificar uma das (e, logo, todas as) quatro afirmações acima, verifica-se também que $\underline{I}(f) = I = \overline{I}(f)$, para o número real $I$ das primeiras duas afirmações, levando esse valor comum a designação de integral de $f$ (em $[a,b]$) e a notação
(1)Demonstração
A demonstração é bastante técnica e foge aos objetivos deste curso, por isso optamos por não a incluir aqui. Apenas esclarecemos algumas das convenções usadas acima e algumas propriedades elementares:
Uma partição $P$ de um intervalo $[a,b]$ (com $a < b$) é um conjunto $\{ x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n \}$, para algum $n \in \mathbb N$, onde $a=x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n=b$. A sua amplitude ou norma define-se como $\Delta(P) := \max_{i=1,\ldots,n} |x_i-x_{i-1}|$.
Uma sequência $\xi := (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ diz-se compatível com a partição $P$ acima se, para cada $i=1, \ldots,n$, $\; \xi_i \in [x_{i-1},x_i]$.
Supondo meramente que $f$ é limitada, decorre diretamente das definições que $\underline{S}(f,P) \leq \overline{S}(f,P)$, de modo que a desigualdade $0 \leq \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P)$ na afirmação 4 se verifica automaticamente sem necessidade de mais nenhuma hipótese adicional. É até possível provar1 que, quaisquer que sejam as partições $P$ e $Q$ de $[a,b]$, $\underline{S}(f,P) \leq \overline{S}(f,Q)$, e portanto na afirmação 3 a desigualdade $\underline{I}(f) \leq \overline{I}(f)$ verifica-se também automaticamente sem necessidade de mais nenhuma hipótese adicional para além de $f$ ser limitada.
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