Extremos locais

Proposição

Seja $f$ uma função definida num intervalo $I$ e $n > 2$ vezes diferenciável em $x_0 \in I$ com $f'(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0$ e $f^{(n)}(x_0)\not=0$.

(i) Se $n$ é par e $f^{(n)}(x_0) > 0$, então $x_0$ é um minimizante local de $f$ ($f$ é convexa em $x_0$).

(ii) Se $n$ é par e $f^{(n)}(x_0) < 0$, então $x_0$ é um maximizante local de $f$ ($f$ é côncava em $x_0$).

(iii) Se $n$ é ímpar, então $x_0$ não é extremante local de $f$ ($f$ tem uma inflexão em $x_0$).

Demonstração

Ver Teorema 3.5.7 de AM1 (nota, no entanto, que a demonstração que pode ser lida na página 121 de AM1 faz uso da fórmula de Taylor com resto de Peano (cf., por exemplo, o Teorema 3.3.2 de AM1), sobre a qual nada referimos neste sítio.

NOTA: O resultado acima vale também no caso $n=2$.

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