Teorema dos intervalos encaixados

Proposição

Seja $[a_1,b_1], [a_2,b_2], \ldots$ uma sucessão de intervalos fechados tais que $[a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \ldots$ e cuja sucessão dos comprimentos, $|a_1-b_1|, |a_2-b_2|, \ldots,$ tende para zero. Então existe um só número real pertencente à interseção de todos esses intervalos.

Demonstração

Começamos por observar que o axioma do supremo garante que existe $a := \sup \{ a_n : n \in \mathbb N \} \in \mathbb R$ (porquê?). E que, por correspondente propriedade para o ínfimo, também existe $b := \inf \{ b_n : n \in \mathbb N \} \in \mathbb R$ (porquê?). Além disso, $a \leq b$: de facto, qualquer $a_k$ é majorado por qualquer $b_\ell$, logo qualquer $a_k$ é minorante de $\{ b_n : n \in \mathbb N \}$ e portanto, por definição de ínfimo, $a_k \leq b, \forall k \in \mathbb N$; mas daqui sai por sua vez, agora usando a definição de supremo, que $a \leq b$.

Vejamos que $\cap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n] = [a,b]$:

Prova da inclusão $\subset$: se $x \in \cap_{n \in \mathbb N} [a_n,b_n]$, então $x$ pertence a todos os intervalos $[a_n,b_n]$, logo $x$ é majorante do conjunto $\{ a_n : n \in \mathbb N \}$ e minorante do conjunto $\{ b_n : n \in \mathbb N \}$ (porquê?), e portanto $a \leq x \leq b$ (porquê?), ou seja, $x \in [a,b]$.

Prova da inclusão $\supset$: se $x \in [a,b]$, então, para qualquer que seja o $n \in \mathbb N$, $a_n \leq x \leq b_n$ (porquê?), logo $x$ pertence a todos os intervalos $[a_n,b_n]$ e portanto também à interseção dos mesmos.

Para finalizarmos a prova, basta agora garantir que $a=b$. Ora, como tanto $a$ como $b$ estão em $[a,b]$, então, como acabámos de ver (na prova da inclusão $\supset$ acima), $a_n \leq a, b \leq b_n$, logo

(1)
\begin{align} 0 \leq b - a \leq b_n - a_n \quad \mbox{(porquê?)}, \end{align}

onde, por hipótese, $b_n-a_n \to 0$ quando $n \to \infty$ e de onde sai, pelo Teorema das sucessões enquadradas (a provar mais tarde sem recorrer ao presente resultado) que, de facto, $a=b$.

Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License