Séries de Dirichlet

Proposição

Uma série da forma $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, onde $\alpha \in \mathbb R$, converge se e só se $\alpha > 1$.

Demonstração

Para uma demonstração, conferir o Exemplo 2.2.8 de AM1, onde a argumentação é reduzida à aplicação do Teorema da condensação, de Cauchy, também provado nesse texto (cf. Teorema 2.2.7).

As séries aqui introduzidas designam-se por séries de Dirichlet. A série harmónica é um caso particular (caso $\alpha = 1$), cuja divergência estabelecemos no exercício 6 da Folha 4 (ver meta 4).

Voltaremos a este assunto mais tarde, com uma prova alternativa para este resultado usando outras ferramentas.

Comentários: