Um critério de integrabilidade

Proposição

Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ é integrável e $g : [a,b] \to \mathbb R$ apenas difere de $f$ num número finito de pontos, então $g$ é integrável e

(1)

\begin{align} \int_a^b g(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx. \end{align}

Demonstração

Atendendo ao resultado sobre a integração em subintervalos e à aditividade do integral, basta mostrar que $g$ é integrável em $[c,d]$, e que $\int_c^d g(x) \, dx = \int_c^d f(x) \, dx$, para todos os subintervalos $[c,d]$ de $[a,b]$ onde as funções difiram em um ou em ambos os extremos de $[c,d]$ e coincidam no seu interior.

Usamos a afirmação 1 da caracterização da integrabilidade.

Dado um qualquer $\varepsilon > 0$, seja

(2)

\begin{align} \delta \in \; \Big] 0, \frac{\varepsilon}{2 (|f(c)-g(c)|+|f(d)-g(d)|)} \Big[ \end{align}

tal que $\forall$ partição $P := \{ x_0, \ldots, x_n \}$ de $[c,d]$ com amplitude $\Delta (P) < \delta$, $\forall \xi := (\xi_1, \ldots, \xi_n)$ compatível com $P$, $\; | S(f,P,\xi) - \int_c^d f(x) \, dx | < \frac{\varepsilon}{2}\,$.

Consideremos uma qualquer partição $P$ de $[c,d]$ e uma qualquer sequência $\xi$ compatível com $P$. Então

(3)

\begin{eqnarray} \; | S(g,P,\xi) - \int_c^d f(x) \, dx | & \leq & | S(g,P,\xi) - S(f,P,\xi) | + | S(f,P,\xi) - \int_c^d f(x) \, dx | \\ & \leq & (|f(c)-g(c)|+|f(d)-g(d)|)\, \delta + \frac{\varepsilon}{2} \\ & < & \varepsilon \end{eqnarray}

e portanto a afirmação 1 da caracterização da integrabilidade vale também para $g$ em $[c,d]$ com a escolha de $\delta$ feita em (2), dando-nos também essa afirmação que

(4)

\begin{align} \int_c^d g(x) \, dx = \int_c^d f(x) \, dx. \end{align}

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