Critério de D'Alembert

Proposição

Suponhamos que a partir de certa ordem se verifica $a_n>0$ e que existe $l := \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

(i) Se $l < 1$, então $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge;

(ii) Se $l > 1$, então $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge.

Demonstração

(i) Se $l < 1$, então existe uma ordem a partir da qual $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{l+1}{2} < 1$ (porquê?) e a conclusão sai do critério da razão (cf., por exemplo, o exercício 5 da Folha 5 — ver meta 5).

(ii) Se $l > 1$, então existe uma ordem a partir da qual $\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq \frac{l+1}{2} > 1$ (porquê?) e a conclusão sai novamente do critério da razão.

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