Critério do integral

Proposição

Sejam $p \in \mathbb N_0$ e $f : [p,+\infty [ \to \mathbb R$ uma função não negativa e decrescente. Então

(1)

\begin{align} \int_p^{+\infty}\! f(x)\, dx \;\; \mathit{\mbox{ converge}} \quad \mathit{\mbox{se e só se }} \quad \sum_{n=p}^\infty \, f(n) \;\; \mathit{\mbox{ converge}}. \end{align}

Demonstração

Sendo $f$ uma função monótona em $[p,+\infty[$, é integrável (à Riemann) em qualquer intervalo limitado e fechado contido em $[p,+\infty[$ (cf. exercício 5 da Folha 15 — ver meta 15). Além disso, o facto de $f$ ser decrescente também implica que, para todo o inteiro $n \geq p$,

(2)

\begin{align} f(n+1) \leq \int_n^{n+1}\! f(x)\, dx \leq f(n) \end{align}

e, portanto, para todo o natural $k>p$, que

(3)

\begin{align} \sum_{n=p+1}^k f(n) \leq \int_p^k f(x)\, dx \leq \sum_{n=p}^{k-1}\, f(n). \end{align}

Temos então, por um lado, que se o integral impróprio $\int_p^{+\infty} f(x)\, dx$ for convergente, o mesmo sucederá a $\int_p^{k} f(x)\, dx$ quando $k \to +\infty$ e, por (3), à série $\sum_{n=p}^\infty f(n)$ (justifica completamente esta conclusão!), podendo até mesmo dizer-se que

(4)

\begin{align} \sum_{n=p}^\infty \, f(n) \leq f(p) + \int_p^{+\infty}\! f(x)\, dx \quad \mathit{\mbox{(porquê?)}}. \end{align}

Se, em contrapartida, começarmos por assumir que é a série que converge, então (3) também garante a convergência da sucessão de integrais $\int_{p}^k f(x)\, dx$ (porquê?) e, por conseguinte, a convergência do integral impróprio (porquê?), tendo-se, além do mais, que

(5)

\begin{align} \int_p^{+\infty}\! f(x)\, dx \leq \sum_{n=p}^{\infty}\, f(n). \end{align}

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