Corolário do Teorema de Lagrange

Proposição

Se uma função $f$ é contínua à direita (resp. à esquerda) num ponto $a$ do seu domínio, diferenciável em $]a,a+\varepsilon[$ (resp. em $]a-\varepsilon,a[$), para algum $\varepsilon >0$, e existe $\lim_{x \to a+} f'(x)$ (resp. $\lim_{x \to a-} f'(x)$), então existe também $f'_d(a)$ (resp. $f'_e(a)$) e verifica-se que

(1)

\begin{align} f'_d(a) = \lim_{x \to a+} f'(x) \quad \mbox{(resp. }\; f'_e(a) = \lim_{x \to a-} f'(x)\, \mbox{)}. \end{align}

Demonstração

Provamos apenas para o caso da derivada à direita, já que o outro se prova de modo análogo.

Por definição,

(2)

\begin{align} f'_d(a) = \lim_{x \to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}. \end{align}

Considerando $x \in \; ]a,a+\varepsilon[$, as hipóteses do enunciado garantem (justifica!) que se pode aplicar o Teorema de Lagrange a $f|_{[a,x]}$ e que existe, portanto, $c(x)$ (i.e., um $c$ dependente do $x$ considerado) em $]a,x[$ tal que

(3)

\begin{align} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c(x)). \end{align}

Existindo, por hipótese, $\lim_{x \to a+} f'(x)$ e verificando-se que $\lim_{x \to a} c(x) = a$ (porquê?) e, obviamente, que $x \not= a \Rightarrow c(x) \not= a$, então o resultado sobre o Limite da função composta garante que $\lim_{x \to a+} f'(c(x)) = \lim_{x \to a+} f'(x)$ e, conjugando com (2) e (3), que

(4)

\begin{align} f'_d(a) = \lim_{x \to a+} f'(x), \end{align}

como se pretendia provar.

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