Convergência absoluta de séries

Proposição

Toda a série $\sum_{k=1}^\infty a_k$ absolutamente convergente é convergente, verificando-se ainda que

(1)
\begin{align} \left| \sum_{k=1}^\infty a_k \right| \leq \sum_{k=1}^\infty |a_k|. \end{align}

Demonstração

Se $\sum_{k=1}^\infty |a_k|$ converge então a sucessão $\Big( \sum_{k=1}^n |a_k| \Big)_n$ é de Cauchy.

Como, pela desigualdade triangular,

(2)
\begin{align} \left| \sum_{k=n+1}^m a_k \right| \leq \sum_{k=n+1}^m |a_k| = \left| \sum_{k=n+1}^m |a_k| \right|, \quad \forall m, n \in \mathbb N_0 \, \mbox{ com } \, m>n. \end{align}

então (ver questão 8 na meta 4) também $\Big( \sum_{k=1}^n a_k \Big)_n$ é de Cauchy, logo convergente, i.e., $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge.

A desigualdade (1) obtém-se fixando $n=0$ em (2) e fazendo aí o $m$ tender para infinito.

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