Concavidades

Proposição

Seja $f$ uma função com derivadas contínuas até à ordem 2 num intervalo $I$ e $a$ um ponto interior de $I$. Nestas condições,

(i) se $f''(a)>0$, então $f$ é convexa no ponto $a$,
(ii) se $f''(a)<0$, então $f$ é côncava no ponto $a$,
(iii) se $f$ tem uma inflexão em $a$, então $f''(a)=0$.

Demonstração

Ver Teorema 3.5.6 de AM1 (nota, no entanto, que a demonstração que pode ser lida na página 120 de AM1 faz uso da fórmula de Taylor com resto de Lagrange (ver, por exemplo, o Teorema 3.3.3 de AM1), sobre a qual nada referimos neste sítio).

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