Critério de Cauchy

Proposição

Suponhamos que a partir de certa ordem se verifica $a_n\geq 0$ e que existe $l := \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$.

(i) Se $l < 1$, então $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge;

(ii) Se $l > 1$, então $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge.

Demonstração

(i) Se $l < 1$, então existe uma ordem a partir da qual $\sqrt[n]{a_n} \leq \frac{l+1}{2} < 1$ (porquê?) e a conclusão sai do critério da raiz (cf., por exemplo, a questão 5 na meta 5).

(ii) Se $l > 1$, então existe uma ordem a partir da qual $\sqrt[n]{a_n} \geq \frac{l+1}{2} > 1$ (porquê?) e a conclusão sai novamente do critério da raiz.

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