Associatividade de séries de termos não negativos

Proposição

Se $a_n \geq 0, \; \forall n \in \mathbb N$, e a partir de $\sum_{n=1}^\infty a_n$ conseguimos formar uma série convergente por associação de termos consecutivos (em número finito) de $\sum_{n=1}^\infty a_n$, então $\sum_{n=1}^\infty a_n$ é também convergente para a mesma soma.

Demonstração

Designando por $(S_k)_{k \in \mathbb N}$ a sucessão das somas parciais da série dada, então a sucessão das somas parciais da série convergente obtida a partir daquela por associação de termos consecutivos (em número finito) é uma sua subsucessão $(S_{\sigma(k)})_{k \in \mathbb N}$ (porquê?).

Designemos $a := \lim_{k \to \infty} S_{\sigma(k)}$.

Como os termos das duas séries são não negativos, ambas as sucessões de somas parciais são monótonas crescentes, logo (atendendo também a que $\sigma(k) \geq k$)

(1)
\begin{align} S_k \leq S_{\sigma(k)} \leq a, \quad \forall k \in \mathbb N. \end{align}

Em particular, $(S_k)_{k \in \mathbb N}$ é também limitada e portanto, pelo Teorema da convergência monótona, é convergente.

Como qualquer sua subsucessão terá que ter o mesmo limite, conclui-se que também $\lim_{k \to \infty} S_{k} = a$.

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