Associatividade restrita de séries

Proposição

Se $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge então de qualquer modo que associemos termos consecutivos em número finito obtemos sempre uma série convergente para a mesma soma.

Demonstração

Se $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge então, por definição, a sucessão $(S_k)_{k \in \mathbb N}$ das suas somas parciais converge.

Como qualquer série que se obtenha da série dada por associação de termos consecutivos em número finito tem como sucessão das somas parciais uma subsucessão de $(S_k)_{k \in \mathbb N}$ (convencido?), então, pelo que sabemos de subsucessões, terá que convergir para o mesmo limite de $(S_k)_{k \in \mathbb N}$.
Assim, não só uma tal série é convergente como tem como soma a mesma da série original.

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