Álgebra das sucessões convergentes

Proposição

Sejam $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ e $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ duas sucessões convergentes. Então

(i) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (u_n+v_n) = \lim_{n \to \infty} u_n + \lim_{n \to \infty} v_n}$,

(ii) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (u_n-v_n) = \lim_{n \to \infty} u_n - \lim_{n \to \infty} v_n}$,

(iii) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (c \cdot u_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} u_n, \;\; \forall c \in \mathbb R}$,

(iv) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (u_n \cdot v_n) = \lim_{n \to \infty} u_n \cdot \lim_{n \to \infty} v_n}$,

(v) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{\lim_{n \to \infty} u_n}{\lim_{n \to \infty} v_n}}$, $\;$desde que os denominadores sejam diferentes de zero.

Demonstração

Designemos por $a$ e $b$ os limites, respetivamente, de $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ e $(v_n)_{n \in \mathbb N}$.

(i) Dado $\varepsilon > 0$, sejam $n_1$ e $n_2$ naturais tais que para $n \geq n_1$ e $n \geq n_2$ tenhamos, respetivamente,

(1)

\begin{align} |u_n - a| < \varepsilon/2 \quad \mbox{e} \quad |v_n - b| < \varepsilon/2 \end{align}

(porque é que podemos garantir a existência de $n_1$ e $n_2$ com estas propriedades?). Então para $n \geq n_0 := \max \{n_1,n_2\}$ as duas desigualdades em (1) verificam-se simultaneamente (porquê?) e portanto também podemos escrever, para tais valores de $n$, que

(2)

\begin{align} |(u_n+v_n)-(a+b)| = |(u_n-a)+(v_n-b)| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. \end{align}

(ii) (deixa-se a prova como exercício)

(iii) (deixa-se a prova como exercício)

(iv) (para uma prova clássica, ver a parte correspondente na demonstração do Teorema 1.6.25 de AM1; aqui far-se-á uma prova alternativa)

Observemos que

(3)

\begin{eqnarray} 0 & \leq & |u_n v_n - a b| \\ & = & |u_n v_n - u_n b + u_n b - a b| \\ & \leq & |u_n| |v_n - b| + |u_n - a| |b|, \end{eqnarray}

de modo que o resultado sai após usarmos sucessivamente as hipóteses, os exercícios 5 e 6 da Folha 2 (ver meta 2), o resultado do produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada, a alínea (i) acima e o Teorema das sucessões enquadradas (verifica que percebes exatamente como é que cada um destes resultados é usado aqui).

(v) (para uma prova clássica, ver a parte correspondente na demonstração do Teorema 1.6.25 de AM1; aqui far-se-á uma prova alternativa)

Como $\displaystyle{\frac{u_n}{v_n} = u_n \cdot \frac{1}{v_n}}$, basta mostrar que $\displaystyle{\frac{1}{v_n}}$ converge para $\displaystyle{\frac{1}{b}}$ e depois aplicar o resultado da alínea anterior.

Observando que

(4)

\begin{align} \left|\frac{1}{v_n} - \frac{1}{b}\right| = \left|\frac{b - v_n}{v_n b}\right| = |b - v_n| \frac{1}{|b|} \frac{1}{|v_n|} \end{align}

e que os termos da sucessão $(|v_n|)_{n \in \mathbb N}$ se mantêm a uma distância mínima positiva de zero (porquê?), a conclusão sai da conjugação das hipóteses com os exercícios 3 e 5 da Folha 2 (ver meta 2) e com o resultado do produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada (verifica que percebes exatamente como é que cada um destes resultados é usado aqui).

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