Aditividade do integral

Proposição

Sejam $f : [a,b] \to \mathbb R$ e $c \in \; ]a,b[$. Se $f$ é integrável em $[a,c]$ e $[c,b]$, então também é integrável em $[a,b]$ e

(1)
\begin{align} \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx. \end{align}

Demonstração

Usamos a afirmação 3 da caracterização da integrabilidade.

A limitação de $f$ em $[a,b]$ sai imediatamente da limitação de $f$ em $[a,c]$ e $[c,b]$.

Quanto ao resto, começamos por fixar a seguinte notação:

(2)
\begin{align} \underline{\int_a^b} f(x) \, dx, \quad \underline{\int_a^c} f(x) \, dx \quad \mbox{ e } \quad \underline{\int_c^b} f(x) \, dx \end{align}

designarão os integrais inferiores de Darboux de f nos intervalos indicados e

(3)
\begin{align} \overline{\int_a^b} f(x) \, dx, \quad \overline{\int_a^c} f(x) \, dx \quad \mbox{ e } \quad \overline{\int_c^b} f(x) \, dx \end{align}

designarão os correspondentes integrais superiores de Darboux.

No que se segue, os $P_1$ e $P_2$ que ocorrem nos ínfimos e supremos em baixo percorrem todas as possibilidades de partições em $[a,c]$ e $[c,b]$ respetivamente.

(4)
\begin{eqnarray} \underline{\int_a^b} f(x) \, dx \; \leq \; \overline{\int_a^b} f(x) \, dx & \leq & \inf_{P_1,P_2} \overline{S}(f,P_1 \cup P_2) \\ & = & \inf_{P_1,P_2} (\overline{S}(f,P_1) + \overline{S}(f,P_2)) \\ & = & \inf_{P_1} \, \overline{S}(f,P_1) + \inf_{P_2} \, \overline{S}(f,P_2) \\ & = & \overline{\int_a^c} f(x) \, dx + \overline{\int_c^b} f(x) \, dx \\ & = & \underline{\int_a^c} f(x) \, dx + \underline{\int_c^b} f(x) \, dx \\ & = & \sup_{P_1} \, \underline{S}(f,P_1) + \sup_{P_2} \, \underline{S}(f,P_2) \\ & = & \sup_{P_1,P_2} (\underline{S}(f,P_1) + \underline{S}(f,P_2)) \\ & = & \sup_{P_1,P_2} \underline{S}(f,P_1 \cup P_2) \\ & \leq & \underline{\int_a^b} f(x) \, dx, \end{eqnarray}

logo $\underline{\int_a^b} f(x) \, dx = \overline{\int_a^b} f(x) \, dx$, o que conclui a prova de que $f$ é integrável em $[a,b]$. Mas com esta igualdade garantida conclui-se a posteriori que todas as passagens na longa sequência (4) são, afinal, igualdades, e portanto obtém-se também a conclusão (1).

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