Proposição
A aplicação $r$ que nos dá a representação decimal definida no exercício 8 da Folha 4 (ver meta 4) não é sobrejetiva (isto é, há dízimas que não se conseguem obter a partir do processo indicado nesse exercício).
Demonstração
Basta exibirmos uma dízima que não seja imagem de nenhum número real por $r$. É o caso de 0,(9), como iremos ver:
Suponhamos que existia $y \in \mathbb R$ tal que $r(y)=0,(9)$. Então, de acordo com o exercício 8 da Folha 4, verificar-se-ia que $y = \sum_{n=1}^\infty 9 \cdot 10^{-n}$. No entanto, como é fácil de verificar, esta série tem soma 1, logo teríamos que ter $y=1$. É, contudo, também fácil de verificar que $r(1)=1,(0)$, logo chegaríamos à contradição 1,(0)=0,(9).
(Aparte: na prática, em vez de dizermos que 1,(0)=0,(9) é uma contradição, dizemos que estamos perante duas dízimas diferentes que representam o número 1, escrevendo-se mesmo 1=0,(9). É possível provar que somente as dízimas cujos algarismos são sempre 9 a partir de certa posição é que não estão no contradomínio de $r$, mas é habitual encarar cada uma delas como uma representação alternativa do número que é soma da série construída como no exercício 3 da Folha 5).
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