|
Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: páginas 33 a 41 de MG. |
|
| 1: |
Sejam $f : D \subset \mathbb R \to \mathbb R$ e $a \in D$. O que significa $f$ ser contínua em $a$? E ser contínua à esquerda em $a$? E ser contínua à direita em $a$? |
| 2: |
Mostra que para uma função $f$ cujo domínio seja exatamente um intervalo $[a,b]$ tem-se a continuidade em $a$ se e só se $f$ for contínua à direita em $a$. E que se tem a continuidade em $b$ se e só se $f$ for contínua à esquerda em $b$. |
| 3: |
Sejam $a \in D$ um ponto de acumulação de $D \subset \mathbb R$ e $f : D \to \mathbb R$. Mostra que $f$ é contínua em $a$ se e só se $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. |
| 4: |
Mostra que a definição sequencial de continuidade (i.e., usando limites de sucessões convergentes) é equivalente à definição $\varepsilon-\delta$ de continuidade. |
| 5: |
Explica porque é que as funções polinomiais e as funções racionais são contínuas nos seus domínios. |
| 6: |
Dá um exemplo de uma função contínua que não obedeça à conclusão do Teorema dos valores intermédios (o qual é o objeto dos exercícios 6 e 7 da Folha 9). |
| 7: |
Dá um exemplo de uma função descontínua que obedeça à conclusão do Teorema dos valores intermédios. |
| 8: |
Dá um exemplo de uma função contínua invertível cuja inversa não seja contínua. |
| 9: |
Mostra que as funções potência de expoente racional são contínuas em $\mathbb R^+$. (Sugestão: recorda a questão 6 da meta 7 e tira partido do resultado sobre a inversa de função contínua num intervalo). |
| 10: |
Prova a seguinte variante da regra do limite da função composta: dados $f : A \subset \mathbb{R} \to B \subset \mathbb{R}$, $h : B \to \mathbb{R}$, $a$ ponto de acumulação de $A$ e $b := \lim_{x \to a} f(x)$ ponto de continuidade de $h$, verifica-se que $\lim_{x \to a} (h \circ f)(x) = h(b)$. |
| 11: |
Sabendo que um intervalo de números reais pode ser caracterizado como um subconjunto de $\mathbb R$ que contém todos os números reais entre dois seus quaisquer elementos, mostra que qualquer função contínua cujo domínio é um intervalo tem como contradomínio um intervalo também. |
| 12: |
Completa a prova do Teorema de Weierstrass demonstrando a existência do mínimo por redução ao resultado sobre a existência do máximo. (Sugestão: recorda o exercício 3.(c) da Folha 1). |
Caetano
Comentários: