Uwe Kähler


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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: cap. 2 de MG e Teorema 2.2.6 de AM1.

1:

Mostra que uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sua sucessão das somas parciais é limitada. (Sugestão: usa o Teorema da convergência monótona).

2:

Responde aos dois porquês que aparecem na demonstração do critério de D'Alembert.

3:

Usa o critério de comparação enunciado no exercício 1 acima para mostrares que se a partir de certa ordem se verifica $\, a_n \geq 0 \,$ e $\, b_n > 0 \,$ e se existe e é finito o limite $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$, então no caso de $\sum_{n=1}^\infty b_n$ convergir também se pode concluir que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. (Sugestão: tira partido do argumento que terás usado para responder à questão anterior).

4:

Mostra que se nas hipóteses da questão anterior exigirmos que o limite indicado também não possa ser zero, então as duas séries consideradas têm obrigatoriamente a mesma natureza.

5:

Mostra que é válido o chamado critério da raiz: se existe um número $\; r \in ]0,1[ \;$ tal que a partir de uma certa ordem se verifica que $\; a_n \geq 0 \;$ e $\; \sqrt[n]{a_n} \leq r < 1$, então a série de termo geral $\; a_n \;$ é convergente; se existe uma ordem a partir da qual $\; a_n \geq 0 \;$ e $\; \sqrt[n]{a_n} \geq 1$, então a série de termo geral $\; a_n \;$ é divergente. (Sugestão: tira ideias da resolução, que terá sido feita na aula, do exercício 5 acima (prova do critério da razão)).

6:

Mostra que se o $\; l \;$ que aparece (cada um com a sua definição) nos critérios de D'Alembert e de Cauchy for 1 não é possível concluir imediatamente sobre a natureza da série. (Sugestão: considera o que se passa com as séries de termo geral $\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{n^2}$).

7:

Nesta meta lidamos essencialmente com séries cujos termos são não negativos pelo menos a partir de certa ordem. Explica como é que podemos tirar partido dos critérios aqui apresentados para lidarmos com séries cujos termos são não positivos pelo menos a partir de certa ordem.

8:

Qual é maior: 7,99(9) ou 8?

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