1: |
Mostra que uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sua sucessão das somas parciais é limitada. (Sugestão: usa o Teorema da convergência monótona). |
2: |
Responde aos dois porquês que aparecem na demonstração do critério de D'Alembert. |
3: |
Usa o critério de comparação enunciado no exercício 1 acima para mostrares que se a partir de certa ordem se verifica $\, a_n \geq 0 \,$ e $\, b_n > 0 \,$ e se existe e é finito o limite $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$, então no caso de $\sum_{n=1}^\infty b_n$ convergir também se pode concluir que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. (Sugestão: tira partido do argumento que terás usado para responder à questão anterior). |
4: |
Mostra que se nas hipóteses da questão anterior exigirmos que o limite indicado também não possa ser zero, então as duas séries consideradas têm obrigatoriamente a mesma natureza. |
5: |
Mostra que é válido o chamado critério da raiz: se existe um número $\; r \in ]0,1[ \;$ tal que a partir de uma certa ordem se verifica que $\; a_n \geq 0 \;$ e $\; \sqrt[n]{a_n} \leq r < 1$, então a série de termo geral $\; a_n \;$ é convergente; se existe uma ordem a partir da qual $\; a_n \geq 0 \;$ e $\; \sqrt[n]{a_n} \geq 1$, então a série de termo geral $\; a_n \;$ é divergente. (Sugestão: tira ideias da resolução, que terá sido feita na aula, do exercício 5 acima (prova do critério da razão)). |
6: |
Mostra que se o $\; l \;$ que aparece (cada um com a sua definição) nos critérios de D'Alembert e de Cauchy for 1 não é possível concluir imediatamente sobre a natureza da série. (Sugestão: considera o que se passa com as séries de termo geral $\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{n^2}$). |
7: |
Nesta meta lidamos essencialmente com séries cujos termos são não negativos pelo menos a partir de certa ordem. Explica como é que podemos tirar partido dos critérios aqui apresentados para lidarmos com séries cujos termos são não positivos pelo menos a partir de certa ordem. |
8: |
Qual é maior: 7,99(9) ou 8? |
Uwe Kähler
Comentários:
Tome-se como exemplo a série $\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3}$ do exercício 2 da folha acima.
Pode-se provar a convergência ou divergência através do seguinte raciocínio? Não será demasiado simplificado/"manhoso" ou é uma estratégia válida?
$\frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3} = \frac{(n+1)}{e^n(2n+3)} \approx \frac{n}{e^n \cdot 2n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^n} \approx \frac{1}{e^n}$
Como $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{e^n}$ é convergente, $\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3}$ também é e, porque $\frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3} \geq 0$, é-o absolutamente.
A intuição está correta, e o símbolo $\approx$ até é usado em certas áreas da matemática com um significado muito próximo do que o que usaste. Mas nesta fase os alunos facilmente se deixam enganar pela intuição, e por isso exige-se a exibição de algum formalismo que evite potenciais "rasteiras".
Repara que o que fazes pode ser facilmente formalizado usando o critério da comparação do limite que é enunciado nas questões 3 e 4 do grupo de questões de compreensão abaixo (meta 5): o que estás a querer argumentar é que como
(1)então $\frac{(n+1)e^{-n}}{2n+3}$ e $\frac{1}{e^n}$ são comparáveis no limite e, pelo critério, as correspondentes séries têm a mesma natureza.
O que eu sugiro é que mantenhas a intuição para perceberes com o que é que deves comparar, mas depois uses um critério formal que te confirme (ou não!) aquilo que a intuição te parece querer dizer.