| 1: |
Mostra que uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sua sucessão das somas parciais é limitada. (Sugestão: usa o Teorema da convergência monótona). |
| 2: |
Responde aos dois porquês que aparecem na demonstração do critério de D'Alembert. |
| 3: |
Usa o critério de comparação enunciado no exercício 1 acima para mostrares que se a partir de certa ordem se verifica $\, a_n \geq 0 \,$ e $\, b_n > 0 \,$ e se existe e é finito o limite $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$, então no caso de $\sum_{n=1}^\infty b_n$ convergir também se pode concluir que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. (Sugestão: tira partido do argumento que terás usado para responder à questão anterior). |
| 4: |
Mostra que se nas hipóteses da questão anterior exigirmos que o limite indicado também não possa ser zero, então as duas séries consideradas têm obrigatoriamente a mesma natureza. |
| 5: |
Mostra que é válido o chamado critério da raiz: se existe um número $\; r \in ]0,1[ \;$ tal que a partir de uma certa ordem se verifica que $\; a_n \geq 0 \;$ e $\; \sqrt[n]{a_n} \leq r < 1$, então a série de termo geral $\; a_n \;$ é convergente; se existe uma ordem a partir da qual $\; a_n \geq 0 \;$ e $\; \sqrt[n]{a_n} \geq 1$, então a série de termo geral $\; a_n \;$ é divergente. (Sugestão: tira ideias da resolução, que terá sido feita na aula, do exercício 5 acima (prova do critério da razão)). |
| 6: |
Mostra que se o $\; l \;$ que aparece (cada um com a sua definição) nos critérios de D'Alembert e de Cauchy for 1 não é possível concluir imediatamente sobre a natureza da série. (Sugestão: considera o que se passa com as séries de termo geral $\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{n^2}$). |
| 7: |
Nesta meta lidamos essencialmente com séries cujos termos são não negativos pelo menos a partir de certa ordem. Explica como é que podemos tirar partido dos critérios aqui apresentados para lidarmos com séries cujos termos são não positivos pelo menos a partir de certa ordem. |
| 8: |
Qual é maior: 7,99(9) ou 8? |
Eugénio - meta 5
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