Caetano


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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: página 19 de MG e secção 2.1 de AM1.

1:

Explica em que consiste uma prova por indução matemática. Concretiza com um exemplo em particular.

2:

O que é uma série (numérica) e o que se entende pela sua natureza? Diz também o que são os termos de uma série, a sucessão das suas somas parciais e o resto de ordem $m$?

3:

O que significa uma série ser convergente e o que é a soma de uma série convergente?

4:

O que podes dizer sobre a natureza de uma série cujo termo geral é a soma dos termos gerais de duas séries divergentes? Justifica a tua resposta.

5:

Quando é que a multiplicação dos termos de uma série divergente por uma constante a transforma numa série convergente?

6:

Considera uma série cuja natureza desconheces à partida e supõe que, se associares termos consecutivos em número finito, obténs uma série convergente. Podes garantir que a série inicial é convergente? Se sim, demonstra. Se não, dá um contra-exemplo.

7:

Mostra que se uma série for convergente então a sucessão $(R_m)_{m\in \mathbb N}$ dos seus restos de ordem $m$ converge para zero.

8:

Mostra que a definição de sucessão de Cauchy aplicada ao conceito de série $\sum_{k=1}^\infty a_k$ resulta na afirmação de que $\forall \varepsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb N : \forall m,n \in \mathbb N, \; m>n\geq n_0 \, \Rightarrow \, |\sum_{k=n+1}^m a_k| < \varepsilon$.

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