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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: subsecção 1.6.1; da Def. 1.6.6 ao Teor. 1.6.9; Def. 1.6.12; da Def. 1.6.20 à Def. 1.6.22 — tudo referente ao texto AM1. |
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| 1: |
Distingue sucessão do conjunto dos termos da sucessão: qual é a diferença? |
| 2: |
O que significa uma sucessão ser limitada? E monótona? E convergente? E divergente? |
| 3: |
Qual é a técnica de argumentação usada na demonstração da unicidade do limite? |
| 4: |
Considera duas sucessões $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ e $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ convergentes respetivamente para $a$ e $b$ e tais que $u_n \leq v_n,\; \forall n \in \mathbb N$. Mostra que então $a \leq b$. (Sugestão: começa por imaginar uma prova geométrica, tirando partido da ideia intuitiva de limite). |
| 5: |
Define infinitamente grande positivo, infinitamente grande negativo e infinitamente grande em módulo. Pode garantir-se algum tipo de monotonia para cada um desses tipos de sucessões? Pode garantir-se que tais sucessões nunca são limitadas? E reciprocamente: pode garantir-se que uma sucessão ilimitada tem que obrigatoriamente ser um infinitamente grande de um daqueles três tipos? |
| 6: |
Dá um exemplo de um exercício de cálculo de limites de sucessões onde possas usar o Teorema das sucessões enquadradas na sua resolução. |
| 7: |
Dá um exemplo de um exercício de cálculo de limites de sucessões onde possas usar o resultado sobre o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada na sua resolução. |
| 8: |
Dá um exemplo de um exercício de cálculo de limites de sucessões onde possas usar uma das alíneas do resultado sobre a álgebra das sucessões convergentes na sua resolução. |
| 9: |
Define subsucessão de uma sucessão e explica como é que o conceito pode ser útil para, no cálculo de limites, garantir que uma dada sucessão não é convergente. |
| 10: |
Identifica o maior número possível de tipos de indeterminações que poderão ocorrer no cálculo de limites de sucessões. Para cada um deles dá depois dois exemplos de sucessões com esse tipo de indeterminação e para os quais os limites se comportam de maneira diferente (podendo até, por exemplo, um deles não existir). |
| 11: |
Perto do final da demonstração do resultado sobre a álgebra das sucessões convergentes afirma-se que os termos de uma certa sucessão $(|v_n|)_{n \in \mathbb N}$ se mantêm a uma distância mínima positiva de zero. Prova essa afirmação, assumindo que se verificam as hipóteses consideradas para a sucessão $(v_n)_{n \in \mathbb N}$ no enunciado desse resultado sobre a álgebra das sucessões convergentes. |
Caetano
Comentários:
bom dia professor
Existe algum resultado que permita concluir que o produto de duas sucessões limitadas é uma sucessão limitada?
Independentemente de existir oficialmente ou não, é algo que é fácil de garantir: se $|u_n| \leq L$ e $|v_n| \leq M$, para $L, M$ constantes positivas, então
(1)(mas pensa um bocadinho sobre o motivo pelo qual cada uma destas desigualdades é válida).
Professor
No exercicio 5 a demonstração torna-se muito simples com a sujestão dada, só temos de considerar que a ordem p tal que os termos da sucessão u(n) estão no intervalo ]a-e,a+e[ e a ordem p da sucessão dos moduloe é amesma. certo?.
Depois para concluir a iguadade dos limites aí considerados, basta atender ao facto da função moulo ser continua?
Olá,
Esta foi feita numa das aulas. De qualquer modo, aqui vão comentários:
Exato.
Humm… Esta pergunta revela que não percebeste que a tua primeira frase prova praticamente tudo o que há a provar neste exercício. A continuidade da função módulo não é usada neste exercício.
Se quiseres invocar a continuidade da função módulo para resolver o exercício, então a resolução consiste somente em dizer que a igualdade a provar é uma consequência direta da definição de continuidade. Mas nesta fase ainda não tínhamos falado de continuidade, por isso essa não seria a via mais adequada aqui. Aliás, é precisamente a partir do momento em que este exercício está resolvido que podemos dizer que a função módulo é contínua.