Vasile


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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: cap. 1 de MG; da Def. 1.5.12 à Def. 1.5.16 de AM1; do Teo. 1.5.20 até ao final da secção 1.5 de AM1.

1:

O que é $\mathbb R$ e qual a relação com uma reta graduada e orientada?

2:

Considera uma curva em forma de espiral, graduada e orientada, que não tenha princípio nem fim. Achas que pode ser considerada uma representação geométrica de $\mathbb R$?

3:

Indica uma grandeza física que possa ser modelada através de $\mathbb R$ e outra que não possa ser modelada nem por $\mathbb R$ nem por nenhum seu subconjunto.

4:

A demonstração da irracionalidade de raiz de 2 usa uma técnica chamada de argumentação por contradição. Explica em termos gerais em que consiste.

5:

Relativamente a um conjunto de números reais, define majorado, minorado, majorante, minorante, supremo, ínfimo, máximo e mínimo. Enuncia e prova uma caracterização para os ínfimos correspondente à dada para o supremo (toma nota da técnica que é aí usada para provar a equivalência; identifica também a parte em que é usada uma argumentação por contradição).

6:

Qual a utilidade da introdução do axioma do supremo na axiomática de $\mathbb R$? Explica como é que a partir desse axioma se pode mostrar que todo o subconjunto não-vazio e minorado de $\mathbb R$ tem um ínfimo.

7:

O que diz o axioma (ou, dependendo do ponto de vista, propriedade) de Arquimedes relativamente ao conjunto dos números reais? Deduz a partir dele que dado um qualquer número real $x>0$ existe $n \in \mathbb N$ tal que $0< \frac{1}{n} < x$.

8:

É ou não verdade que entre dois quaisquer números reais é sempre possível encontrar um número racional? E irracional?

9:

O que diz o Teorema dos intervalos encaixados? Identifica a técnica que na demonstração é usada para provar a igualdade de dois conjuntos. Identifica também a técnica que, no final da mesma demonstração, é usada para provar a igualdade entre dois números reais. Dá um exemplo que mostre que o teorema não seria válido se se permitisse que os intervalos pudessem não ser fechados.

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