Meta 18


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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: subsecções 7.6.1 e 7.6.2 de AM1.

1:

Define existência ou convergência de um integral impróprio de 1ª espécie. Faz o mesmo para um integral impróprio de 2ª espécie.

2:

No contexto do exercício 1 da Folha 18, supõe que $a,b \in \mathbb R$ e que $f$ é integrável (à Riemann) em $[a,b]$. Mostra que o integral de Riemann $\int_a^b f(x) \, dx$ se pode obter como $\lim_{x \to a+} \int_x^c f(t)\, dt + \lim_{x \to b-} \int_c^x f(t)\, dt$ e que, portanto, o símbolo $\int_a^b f(x)\, dx$ tal como foi introduzido no exercício 1 da Folha 18 estende o significado que já tinha no contexto da integração à Riemann.

3:

Tira ideias do exercício 3 da Folha 18 e mostra que o integral impróprio $\int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\, dt$ é convergente.

4:

Mostra que o integral impróprio $\int_0^1 f(x)\, dx$, para a função $f$ do exemplo de função primitivável mas não integrável, é convergente e calcula o seu valor.

5:

Mostra que $\lim_{N \to +\infty} \int_{-N}^N \sin x \, dx = 0$ mas que o integral impróprio $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x \, dx$ é divergente.

6:

Seja $f : [0,+\infty[ \to \mathbb R$ definida por $f(x) := \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ quando $x \in [n,n+1[$, $n \in \mathbb N$. Mostra que $\int_1^{+\infty} f(x)\, dx$ converge mas que $\int_1^{+\infty} |f(x)|\, dx$ diverge.

7:

Desafio: Mune-te de uma calculadora e tira partido das comparações entre o valor do integral e a soma da série na demonstração do critério do integral e mostra que $1,64$ é um valor aproximado de $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ com erro inferior a uma centésima da unidade.

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