Meta 17


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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: páginas 102 a 104 de MG.

1:

Diz o que é o integral indefinido de uma função $f : [a,b] \to \mathbb R$, onde $a<b$.

2:

O Teorema fundamental do cálculo integral garante que, no caso de $f : [a,b] \to \mathbb R$, com $a<b$, ser contínua, então $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$ para todo o $x \in [a,b]$ (a derivada considerando-se como lateral nos extremos). Mostra que se $f$ também for contínua em $[c,a]$, com $c < a$, então também se tem que $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x)$ para todo o $x \in [c,a]$. (Sugestão: tira partido da aditividade do integral).

3:

De acordo com o exercício 7 da Folha 17, $e^x$ define-se como $\exp (x)$, qualquer que seja o $x \in \mathbb R$, onde $\exp$ é a função inversa da função $\ln$. Aplica o resultado do exercício 6.(a) da Folha 17 aos números positivos $e^x$ e $e^y$ e prova assim, por esta via, a conhecida propriedade $e^{x+y} = e^x e^y$, válida para quaisquer $x,y \in \mathbb R$.

4:

Tendo neste momento uma definição rigorosa do que se deve entender por uma expressão como $e^x$, define-se a função potência de expoente $a$, com $a$ um qualquer número real, como a função definida em $\mathbb R^+$ pela expressão $x^a := e^{a \ln x}$. Mostra que, quando $a=n \in \mathbb N$, $x^a$ coincide com a definição classicamente adotada.

5:

Justifica a continuidade da função potência definida na questão anterior.

6:

Mostra que $x^{a+b} = x^a x^b$, para quaisquer $x>0$ e $a,b \in \mathbb R$, onde estas funções potência têm o mesmo significado que na questão 4 acima.

7:

Mostra que a conhecida fórmula de derivação da função potência continua válida mesmo quando o expoente é um número real qualquer. Isto é, mostra que $(x^a)' = a x^{a-1}$ para a função $x^a$ definida na questão 4 acima.

8:

As funções trigonométricas e as suas inversas podem definir-se de um modo rigoroso através do mesmo tipo de abordagem que se usou para o logaritmo e a exponencial naturais, embora aqui a situação seja mais complicada. De qualquer modo, a ideia é começar por se definir $\arcsin x$ como $\int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\, dt$, para $x \in \;]-1,1[$, invocando o Teorema fundamental da integração, e definir depois o $\sin$ como $\arcsin^{-1}$, pelo menos no contradomínio da função $\arcsin$ acima definida. Mostra, neste contexto, que a regra de derivação da função inversa produz a fórmula $(\sin x)' = \sqrt{1- (\sin x)^2}$.

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