[[form]]
fields: # This is always required at the start
aviso1:
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type: static
value: //**Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo:**// páginas 102 a 104 de [[[mgcaetano |MG]]].
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questao1:
label: 1:
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value: //**Diz o que é o integral indefinido de uma função [[$ f : [a,b] \to \mathbb R $]], onde [[$ a<b $]].**//
resposta1: # Use a valid YAML name
label: # This is what the user sees
type: wiki # The field types
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questao2:
label: 2:
type: static
value: //**O Teorema fundamental do cálculo integral garante que, no caso de [[$ f : [a,b] \to \mathbb R $]], com [[$ a<b $]], ser contínua, então [[$ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x) $]] para todo o [[$ x \in [a,b] $]] (a derivada considerando-se como lateral nos extremos). Mostra que se [[$ f $]] também for contínua em [[$ [c,a] $]], com [[$ c < a $]], então também se tem que [[$ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x) $]] para todo o [[$ x \in [c,a] $]].** (Sugestão: tira partido da [[[museu:aditividade |aditividade do integral]]]).//
resposta2:
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type: wiki
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questao3:
label: 3:
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value: //**De acordo com o exercício 7 da Folha 17, [[$ e^x $]] define-se como [[$ \exp (x) $]], qualquer que seja o [[$ x \in \mathbb R $]], onde [[$ \exp $]] é a função inversa da função [[$ \ln $]]. Aplica o resultado do exercício 6.(a) da Folha 17 aos números positivos [[$ e^x $]] e [[$ e^y $]] e prova assim, por esta via, a conhecida propriedade [[$ e^{x+y} = e^x e^y $]], válida para quaisquer [[$ x,y \in \mathbb R $]].**//
resposta3: # Use a valid YAML name
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type: wiki # The field types
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questao4:
label: 4:
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value: //**Tendo neste momento uma definição rigorosa do que se deve entender por uma expressão como [[$ e^x $]], define-se a função potência de expoente [[$ a $]], com [[$ a $]] um qualquer número real, como a função definida em [[$ \mathbb R^+ $]] pela expressão [[$ x^a := e^{a \ln x} $]]. Mostra que, quando [[$ a=n \in \mathbb N $]], [[$ x^a $]] coincide com a definição classicamente adotada.**//
resposta4: # Use a valid YAML name
label: # This is what the user sees
type: wiki # The field types
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questao5:
label: 5:
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value: //**Justifica a continuidade da função potência definida na questão anterior.**//
resposta5:
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type: wiki
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questao6:
label: 6:
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value: //**Mostra que [[$ x^{a+b} = x^a x^b $]], para quaisquer [[$ x>0 $]] e [[$ a,b \in \mathbb R $]], onde estas funções potência têm o mesmo significado que na questão 4 acima.**//
resposta6: # Use a valid YAML name
label: # This is what the user sees
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questao7:
label: 7:
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value: //**Mostra que a conhecida fórmula de derivação da função potência continua válida mesmo quando o expoente é um número real qualquer. Isto é, mostra que [[$ (x^a)' = a x^{a-1} $]] para a função [[$ x^a $]] definida na questão 4 acima.**//
resposta7: # Use a valid YAML name
label: # This is what the user sees
type: wiki # The field types
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questao8:
label: 8:
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value: //**As funções trigonométricas e as suas inversas podem definir-se de um modo rigoroso através do mesmo tipo de abordagem que se usou para o logaritmo e a exponencial naturais, embora aqui a situação seja mais complicada. De qualquer modo, a ideia é começar por se definir [[$ \arcsin x $]] como [[$ \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\, dt $]], para [[$ x \in \;]-1,1[ $]], invocando o Teorema fundamental da integração, e definir depois o [[$ \sin $]] como [[$ \arcsin^{-1} $]], pelo menos no contradomínio da função [[$ \arcsin $]] acima definida. Mostra, neste contexto, que a regra de derivação da função inversa produz a fórmula [[$ (\sin x)' = \sqrt{1- (\sin x)^2} $]].**//
resposta8: # Use a valid YAML name
label: # This is what the user sees
type: wiki # The field types
[[/form]]
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