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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: caracterização da integrabilidade. |
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| 1: |
O que é uma partição de um intervalo? E um refinamento de uma partição? E o que se entende por amplitude ou norma de uma partição? E por uma sequência compatível com uma partição? |
| 2: |
Relativamente a uma função definida num intervalo, define soma de Riemann e somas inferior e superior de Darboux. |
| 3: |
Explica o que quer dizer uma função $f$ ser integrável à Riemann em $[a,b]$ e a que é que se chama o seu integral, simbolizado por $\int_a^b f(x) \, dx$. Depois indica o que é que neste símbolo se designa por função integranda, variável de integração e limites de integração. |
| 4: |
O que são os integrais inferior e superior de Darboux de uma função? |
| 5: |
Qual a interpretação geométrica do integral de uma função não negativa? |
| 6: |
O que se entende por uma função integrável num subintervalo do seu domínio? |
| 7: |
Dá um exemplo de uma função $f$ que nunca assuma o valor zero em $[a,b]$, onde $a<b$, mas seja tal que $\int_a^b f(x) \, dx = 0$. |
| 8: |
Dá um exemplo de uma função $f$ e de intervalos $[a,b]$ e $[c,d] \subset [a,b]$ em que $\int_c^d f(x) \, dx >\int_a^b f(x) \, dx$. |
| 9: |
Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ integrável e sejam $m$ e $M$ números reais tais que $\, m \leq f(x) \leq M,\: \forall x \in [a,b]$. Mostra que então $\; m (b-a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M (b-a)$. |
| 10: |
Mostra que é válido o seguinte resultado, chamado Teorema da média para integrais: Se $f : [a,b] \to \mathbb R$ for contínua, então existe $c \in [a,b]$ tal que $\int_a^b f(x) \, dx = f(c) (b-a)$. (Sugestão: tira partido do Teorema dos valores intermédios — cf. exercícios 6 e 7 da Folha 9). |
| 11: |
Dá um exemplo de uma função com um número finito de descontinuidades e que não seja integrável. |
| 12: |
Dá um exemplo de uma função não integrável cujo módulo seja integrável. |
Elisa
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