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1:

Diz o que significa uma função $f$ ser regular num intervalo $[a,b]$.

2:

Mostra que uma função regular que assuma valores de sinais contrários em dois zeros consecutivos da derivada tem ela própria um único zero no intervalo entre aqueles zeros da derivada.

3:

Mostra que uma função regular que assuma valores do mesmo sinal em dois zeros consecutivos da derivada não tem ela própria nenhum zero no intervalo entre aqueles zeros da derivada.

4:

Dá um exemplo de uma função diferenciável que não seja constante mas cuja função derivada seja a função nula.

5:

Considera a função $f$ definida por $f(0)=0\,$ e $\, f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}\,$ se $\, x \not= 0$. Verifica que $f'(0)$ existe e é igual a zero, mas que, no entanto, não existe $\lim_{x \to 0} f'(x)$. Explica porque é que isto não contradiz o Corolário do Teorema de Lagrange enunciado na zona do museu.

6:

Considera novamente a função $f$ da questão anterior, para a qual se verifica que $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, e considera adicionalmente a função $g(x) = x$, para a qual também se tem $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$. Verifica que $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ existe e é zero, mas que, no entanto, não existe $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Explica porque é que isto não contradiz a regra de Cauchy para o cálculo de limites.

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