| 1: |
Diz o que significa uma função $f$ ser regular num intervalo $[a,b]$. |
| 2: |
Mostra que uma função regular que assuma valores de sinais contrários em dois zeros consecutivos da derivada tem ela própria um único zero no intervalo entre aqueles zeros da derivada. |
| 3: |
Mostra que uma função regular que assuma valores do mesmo sinal em dois zeros consecutivos da derivada não tem ela própria nenhum zero no intervalo entre aqueles zeros da derivada. |
| 4: |
Dá um exemplo de uma função diferenciável que não seja constante mas cuja função derivada seja a função nula. |
| 5: |
Considera a função $f$ definida por $f(0)=0\,$ e $\, f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}\,$ se $\, x \not= 0$. Verifica que $f'(0)$ existe e é igual a zero, mas que, no entanto, não existe $\lim_{x \to 0} f'(x)$. Explica porque é que isto não contradiz o Corolário do Teorema de Lagrange enunciado na zona do museu. |
| 6: |
Considera novamente a função $f$ da questão anterior, para a qual se verifica que $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, e considera adicionalmente a função $g(x) = x$, para a qual também se tem $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$. Verifica que $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ existe e é zero, mas que, no entanto, não existe $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Explica porque é que isto não contradiz a regra de Cauchy para o cálculo de limites. |
Caetano
Comentários:
Bom dia professor
Nesta meta, na questão 5( Não é da follha pratica mas das questões apresentadas na meta).
consegui provar que a função f é diferenciavel em x=0 e que a sua derivada é zero. pois no calculo desse limite obtenho o produto de um infinitésimo por uma função limitada.
ao calcular o limite quando x tende para zero de (2xsen(1/x)-cos(1/x)) consigo verificar o pretendido, ou seja o limite não existe pois lim(x tende 0) (cos(1/x)) não existe. Atendendo a que não posso separar os limites pois o limite (cos(1/x)) não existe. Como posso justificar a não existência do limi2xsen(1/x)-cos(1/x)) ?
Para teminar, como esse limite não existe o corolário do teorema de Lagrange não se pode aplicar pois a existência do limite é uma das condições desse corolário, logo a não existência do limite não contradiz. certo?
Obrigada professor
Olá Alexandre,
Correto.
Podes usar uma argumentação por contradição: define $g(x) := 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$, observa que $\cos \frac{1}{x} = 2x \sin \frac{1}{x} - g(x)$ e supõe que existia $\lim_{x \to 0} g(x)$… Percebes onde quero chegar? Se percebes, tens aqui um truque que podes usar em situações análogas :-).
Perfeito!
mais uma vez obrigado pela disponibilidade.
Vamos então ver se percebi
Considerei o que o professor propôs e ao supor que o lim g(x) existe já os posso separar e aí chego á conclusão que lim(cos(1/x)) existe o que é uma contradição. correto?
Exato!
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