Meta 10


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Leituras mínimas aconselhadas antes da consideração das questões em baixo: páginas 42 a 49 de MG; secção 3.1 até à Def. 3.1.6, Teor. 3.1.14, da Def. 3.2.1 à Prop. 3.2.3 de AM1.

1:

Define derivada de uma função num ponto interior do seu domínio. Relaciona com a tangente ao gráfico da função em ponto correspondente deste.

2:

Define função diferenciável e função derivada. Indica duas notações possíveis para esta última.

3:

O que entendes por derivadas laterais $f'_e(a)$ e $f'_d(a)$ de uma função $f$ num ponto $a$?

4:

Explica porque é que as funções polinomiais e as funções racionais são diferenciáveis nos seus domínios.

5:

Recorda as funções hiperbólicas definidas na questão 12 da meta 7. Mostra que $(\sinh x)' = \cosh x$ e $(\cosh x)' = \sinh x$.

6:

Sabendo que $(e^x)'=e^x$ e que, para $a>0$, $a^x = e^{x \ln a}$, mostra que $(a^x)'=a^x \ln a$.

7:

Mostra que a derivada da função potência $x^r$, com $r \in \mathbb Q$, em $\mathbb R^+$ é a função $r x^{r-1}$. (Sugestão: recorda os exercícios 6 e 11 da Folha 10 e tira partido da regra da cadeia).

8:

Deduz, a partir do resultado da questão 6 acima, que $\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x \ln a} \,$, para $x \in \mathbb R^+$, $a > 0 \wedge a \not= 1$. (Sugestão: tira partido do resultado do exercício 10 da Folha 10).

9:

O que são o máximo e o mínimo absolutos (ou globais) de uma função? Em que se distinguem dos respetivos maximizantes e minimizantes? E o que são extremos e extremantes (absolutos ou globais) de uma função?

10:

O que são o máximo e o mínimo relativos (ou locais) de uma função? Em que se distinguem dos respetivos maximizantes e minimizantes? E o que são extremos e extremantes (relativos ou locais) de uma função?

11:

O que são pontos críticos (ou de estacionaridade) de uma função?

12:

Mostra que se $f : ]a,b[ \to \mathbb R$ for monótona crescente (resp. decrescente) então, no caso de existir, $f'(x) \geq 0$ ou $+\infty$ (resp. $f'(x) \leq 0$ ou $-\infty$).

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